众所周知,天才物理美少女是世界上最美好的东西(暴论),虽然大家可能并非天才也并不美少女,但不妨碍我们向着这方面努力一下。
本文灵感来自这篇贴子,想着既然过年闲着没事不如用自身知识报复回报一下夏花的各位。如果反响好或者我之后继续有时间发神经的话,会更新更正式、系统一些的讲解内容,做成一个系列。
本篇文章主要目的是测试夏花bbs的一些内置功能以及对图片化公式的支持(事实上在发了贴子以后我发现svg的行距控制稀烂,只能手动添加空行来控制一下,或许需要考虑自带间隔的png,但这样失去了矢量性,论坛不支持LATEX好痛苦啊,让我再研究一下),内容来自我手头上现成的一部分note,不具有知识的系统性,对于不熟悉前置知识的非相关专业人员也有一定的阅读难度,因此仅作为本系列(如果能做起来的话)的番外/第0章。本系列性质上首先是学习/复习记录,因此我不能保证内容的完全可靠,如有错漏还请各位指出,我会及时修改。
在我们研究给定量子系统的量子动力学时,我们会自然地想到,它演化起来究竟能跑多快——想到速率我们就会联想到时间,所以我们也可以反过来考察在给定初末态等信息时,演化的时间最短能有多短。这也就是本文要介绍的对象,量子速度极限时间(τ_QSL),准确地说,这个定义基于演化前后的态是正交(可区分)的这一前提。
作为第0章嘛我们就不过多浪费大家的时间了,只对封闭不含时系统作个简单推导就行——同时为求简洁,我们假设系统具有离散谱且非简并,要是想谱连续各位可以自行脑补一下换成积分什么的,要是有简并的话……反正很麻烦。
我们都知道对于任意初态可以用能量本征基给它展开:
当然演化完以后也是一样(下边的能量本征态就都简写了):
那么有初末态就可以考虑一下振幅:
我们不妨把虚部扔掉来单独看一下实部的情况:
这里我们用到了一个神秘的三角不等式(问就是原作者注意力惊人,反正我只想得到求导来证这玩意)
对于正交态振幅为0,因此上面的不等式可以化简为:
这个东西叫做量子速度极限时间的ML(Margolus-Levitin,以发现者的名字命名)型下界。
既然看过了振幅,我们不禁想是否可以对振幅模方如法炮制一下:
我们可以把虚部隔着求和号直接扔掉毕竟它整个都是实的。
再次利用惊人的注意力,我们发现:
用mma画个图可以发现这个不等式在x为0或±π处取等号,把它代进振幅模方的表达式:
最后一项可能不是那么直观,我们考虑
利用
以及求和的两个指标是轮换对称的,可以继续化简到
这样是不是就一目了然了?总之,我们还是想像之前处理振幅那样处理上面振幅模方这个不等式,由于振幅模方是个非负数,在满足正交条件的时候它处于极小值,意味着导数等于0——不等式右边的第二项也就很自然地消去了,所以我们化简后又得到
即量子速度极限时间的MT(Mandelstam-Tamm,同样是用发现者的名字命名)型下界。
将它们组合在一起,我们就得到了完整的量子速度极限时间:
时间原因,这两个玩意取等号的条件及推导等之后再更(待编辑)